日本の労働基準法によると、パートタイマーであっても法定労働時間（1日8時間、週40時間）を超えて働いた場合は、残業代を支払わなければなりません。あなたの美容室のパートタイマーが毎月170~180時間働いているということは、週に約42.5~45時間働いていることになります。これは法定労働時間を超えているため、超過分に対して残業代を支払う必要があります。具体的には、通常の時給の25%以上を加算した金額を支払うことが求められます。あなたの場合、半年間残業代を支払っていないことになり、これは労働基準法違反となります。労働基準監督署の職員が指摘した通り、適切な残業代を支払うようにしましょう。また、今後は労働時間を管理し、法定労働時間を超えないようにすることも重要です。