10月4日に退職し、11月から新しい会社で働く予定の場合、10月5日を入社日にして社会保険を新しい会社で加入することは一般的にはできません。日本の社会保険制度では、退職後の空白期間がある場合、その期間は基本的に社会保険の加入資格がなくなります。したがって、10月5日に新しい会社で社会保険に加入することはできません。

また、前の会社とプラスで社会保険料を支払うこともできません。社会保険料は、その月に働いた会社が加入している社会保険に基づいて支払うものであり、複数の会社で同時に支払うことは認められていません。

入社日が働く月を跨ぐこと自体は問題ありませんが、社会保険の加入に関しては、新しい会社での実際の勤務開始日に基づいて行われます。つまり、11月から新しい会社で働き始める場合、社会保険の加入も11月からとなります。

退職後の空白期間については、国民健康保険や国民年金に加入することで、医療や年金の保障を受けることができます。具体的な手続きや保険料については、市区町村の窓口で確認することをお勧めします。