育休手当の支給については、基本的には雇用保険に加入していることが条件となります。派遣会社が変わった場合、雇用保険の加入状況は新しい派遣会社で再開されます。したがって、派遣会社Bでの雇用保険加入期間が育休手当の支給条件を満たすかどうかが重要となります。通常、育休手当を受けるためには、出産予定日以前の2年間に12ヶ月以上雇用保険に加入している必要があります。あなたの場合、2023年5月23日に子供が生まれ、2024年5月23日から派遣会社Bで勤務を開始しています。この時点ではまだ雇用保険に加入していないため、育休手当の支給条件を満たしていません。しかし、2024年10月1日から派遣会社Aで再び働くことになっています。派遣会社Aでの雇用保険加入期間が育休手当の支給条件を満たすかどうかを確認する必要があります。派遣会社Aがスタッフサービスである場合、通常は1年間勤務しないと育休を取得できないとされていますが、これは会社の規定によります。育休手当の支給については、各派遣会社の規定や雇用保険の加入状況を確認することが重要です。具体的な日付については、各派遣会社の担当者に確認することをお勧めします。